目的

本文主要介绍一个机器人的阻抗控制器的实现。阻抗控制作为一种与外部环境交互的控制算法，它主要借鉴了bond图的思想，然后假定系统处于平衡状态，从而对系统进行线性化操作，使线性叠加成为可能。

bond图

这个我主要看的是Das, Shuvra. Mechatronic modeling and simulation using bond graphs. New York: CRC Press, 2009.这本书的前几章，感觉只要熟悉了flow effort 的概念和不同的基本元件就够了。

过程

bond图主要描述功率在同一系统不同子环节中传递过程，在它的描述中，一个系统的功率可以由 flow和effort的乘积得到。而在机械系统中 flow 为速度或角速度，effort 为力或力矩。然后存在几种元件去执行传递，比如弹簧（电容），它接收位移（速度的积分）传化为力，阻尼（电阻）纯消耗功率电，惯性（电感）接收动量（力的积分）转化为速度，然后注意他们连接点是同一个量（flow或effort）就行。

模型

由bond图可以得到，弹簧，阻尼和惯性都可以与力（effort）关系，然后通过线性叠加（这是阻抗控制的假定），我们可以得到一个二阶的mass-spring-damper系统来表示外力和。所以一个典型的机器人与环境交互的模型如下

我们假定\( f_{e} \) 为机器人末端给环境的力，图中的\( m_{e} \), \( k_{e} \) 和\( d_{e} \)分别表示为环境的惯性，刚性和阻尼系数，同理\( m_{m} \), \( k_{m} \)和\( d_{m} \)分别表示为机器人的惯性，刚性和阻尼系数。然后\( X \)与 \( y \)表示坐标系（做阻抗控制时，为了方便，最好有一个坐标系的轴垂直于接触面）。\( x_{s} \)为推杆末端的坐标，\( x_{sc} \)为机器人与环境刚接触时的推杆的坐标（此时为平衡状态），同理\( x_{e} \)为机器人与环境刚接触时机器人末端的坐标，\( x \)为机器人末端坐标。

几个公式

$$ f_{e} = m_{e}\ddot{x}+d_{e}\dot{x}+k_{e}(x-x_{e}) $$
\( f_{e} \) 为机器人末端给环境的力, 所以等式右边为环境的变形所叠加的力，其中 \( k_{e}(x-x_{e}) \)为它的静态部分，剩下的为动态部分（据说省略动态部分，并不会影响系统的稳定状态！？）
$$ f_{m} = -f_{e} =m_{m}\ddot{x}+d_{m}(\dot{x}-\dot{x_{s}})+k_{m}(x-x_{s}) $$
\( f_{m} \) 为环境给机器人末端的力, 所以等式右边为机器人末端的变形所叠加的力，